Question

【題目】如圖，三棱柱中， 平面分別為和的中點(diǎn)， 是邊長(zhǎng)為的正三角形， .

（1）證明： 平面；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析（2）

【解析】試題分析：（1）取的中點(diǎn)，利用平行四邊形得到線(xiàn)線(xiàn)平行，進(jìn)而利用線(xiàn)面平行的判定定理進(jìn)行證明；（2）利用圖中的垂直關(guān)系建立合適的空間直角坐標(biāo)系，利用平面的法向量和夾角公式進(jìn)行求解.

試題解析：(1)取的中點(diǎn)，連接分別為和的中點(diǎn)， ，則四邊形是平行四邊形，則平面平面平面.

(2)取中點(diǎn)為等邊三角形， ，又平面平面，建立以為坐標(biāo)原點(diǎn)， 分別為軸的空間直角坐標(biāo)系如圖：

則，則設(shè)平面的法向量為， ，則，即，令，則，即，平面的法向量為， ，則，得，即，令，則，即，則

，即二面角的余弦值是.