Question

于直線(xiàn)m、n與平面α、β,有下列四個(gè)命題:
①若m∥α,n∥β且α∥β,則m∥n;
②若m⊥α,n⊥β且α⊥β,則m⊥n;
③若m⊥α,n∥β且α∥β,則m⊥n;
④若m∥α, n⊥β且α⊥β,則m∥n.
其中真命題的序號(hào)是

1. A.
   ①②
2. B.
   ③④
3. C.
   ①④
4. D.
   ②③

Answer 1

D
本題考查線(xiàn)線(xiàn)、線(xiàn)面、面面平行,垂直的判定和性質(zhì).①④錯(cuò)誤可以通過(guò)反例證明.
如圖(1),①利用正方體模型α∥β,m∥α,n∥β,但M與n不平行.∴①錯(cuò)誤.
如圖(2),④m∥α,n⊥β,α⊥β,但M與n相交.
如圖(3),②設(shè)α∩β=l,在l上任取一點(diǎn)O,在平面α內(nèi),過(guò)點(diǎn)O作n′⊥l;
在平面β內(nèi),過(guò)點(diǎn)O作M′⊥l.
∵α⊥β,∴n′⊥β,m′⊥α.
∵m⊥α,n⊥β,
∴m′∥M,n′∥n.
∴m與n所成的角為m′與n′所成的角.
∵m′⊥α,,
∴m′⊥n′.∴m⊥n.

如圖(4),③∵n∥β,
∴過(guò)n作平面γ使γ∩β=n′,
∴n∥n′.
∵α∥β,m⊥α,∴M⊥β.
∵,∴m⊥n′.∴m⊥n.
∴②③正確