Question

【題目】已知點(diǎn)，圓，過點(diǎn)的動直線與圓交于兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為為坐標(biāo)原點(diǎn)．

（1）求的軌跡方程；

（2）當(dāng)時(shí)，求的方程及的面積．

Answer 1

【答案】（1）；（2）， .

【解析】試題分析：（Ⅰ）由圓的方程求出圓心坐標(biāo)和半徑，設(shè)出的坐標(biāo)，由與數(shù)量積等于列式得的軌跡方程；（Ⅱ）設(shè)的軌跡的圓心為，由得到，求岀所在直線的斜率，由直線的方程的點(diǎn)斜式得到所在直線方程，由點(diǎn)到直線的距離公式求出到的距離，再由弦心距、圓的半徑及弦長間的關(guān)系求出的長度，代入三角形的面積公式得答案.

試題解析：（Ⅰ） 圓的方程可化為,

所以圓心為,半徑為.

設(shè),則.

由題設(shè)知,故,即.

由于點(diǎn)在圓的內(nèi)部,所以的軌跡方程是.

（Ⅱ）由(1)可知的軌跡是以點(diǎn)為圓心, 為半徑的圓.

由于,故在線段的垂直平分線上,又在圓上,從而.

因?yàn)?/span>的斜率為,所以直線的斜率為,故的方程為.

又, 到直線的距離為,

故,所以的面積為.