Question

若函數(shù)對任意的實(shí)數(shù)，，均有，則稱函數(shù)

是區(qū)間上的“平緩函數(shù)”，

(1) 判斷和是不是實(shí)數(shù)集上的“平緩函數(shù)”，并說明理由；

(2) 若數(shù)列對所有的正整數(shù)都有 ，設(shè),

求證： .

Answer 1

解：（1）是上的“平緩函數(shù)，但不是區(qū)間的“平緩函數(shù)”；

設(shè)，則,則是實(shí)數(shù)集上的增函數(shù)，

不妨設(shè)，則，即，

則，   ①

又也是上的增函數(shù)，則，

即，      ②

由  ①、 ②得   

因此  ，對的實(shí)數(shù)都成立，

當(dāng)時，同理有成立

又當(dāng)時，不等式，

故 對任意的實(shí)數(shù)，均 有

因此 是上的“平緩函數(shù).

由于

取，，則，

因此， 不是區(qū)間的“平緩函數(shù)”.

（2）由（1）得：是上的“平緩函數(shù)，則

， 所以 ，

而，

所以

而

所以 ，

則

因此 .