Question

5．已知f′（x）是函數(shù)f（x）=ln（1+x）的導(dǎo)函數(shù)，設(shè)g（x）=xf′（x），x≥0．
（1）證明：f（x）≥g（x）；
（2）令g₁（x）=g（x），g_n+1（x）=g（g_n（x）），n∈N₊，歸納并用數(shù)學(xué)歸納法證明g_n（x）的表達(dá)式．

Answer 1

分析 （1）構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的最值即可，
（2）先猜想：g_n（x）=$\frac{x}{1+nx}$，利用數(shù)學(xué)歸納法證明即可．

解答 證明（1）：∵f（x）=ln（1+x），∴f′（x）=$\frac{1}{1+x}$．（x≥0）．
∴g（x）=$\frac{x}{1+x}$．
設(shè)h（x）=f（x）-g（x），則ln（1+x）≥$\frac{x}{1+x}$?（1+x）ln（1+x）-x≥0．
即h（x）=（1+x）ln（1+x）-x（x≥0）．
h′（x）=ln（1+x）+1-1=ln（1+x）≥0，
∴h（x）在x≥0時(shí)單調(diào)遞增，又h（0）=0，
∴h（x）≥0，即ln（1+x）≥$\frac{x}{1+x}$，
∴f（x）≥g（x）
解（2）：g₁（x）=g（x）=$\frac{x}{1+x}$，
∵g_n+1（x）=g（g_n（x）），n∈N₊，
∴g₂（x）=g（g₁（x））=g（$\frac{x}{1+x}$）=$\frac{x}{1+2x}$．
g₃（x）=g（g₂（x））=g（$\frac{x}{1+2x}$）=$\frac{x}{1+3x}$，
猜想：g_n（x下面利用數(shù)學(xué)歸納法證明：
①當(dāng)n=1時(shí)，g₁（x）=g（x）=$\frac{x}{1+x}$，成立．
②假設(shè)當(dāng)n=k（k∈N^*）時(shí)，g_k（x）=$\frac{x}{1+kx}$．
則當(dāng)n=k+1時(shí)，g_k+1（x）=g（g_k（x））=g（$\frac{x}{1+kx}$）=$\frac{\frac{x}{1+kx}}{1+\frac{x}{1+kx}}$=$\frac{x}{1+（k+1）x}$，
因此當(dāng)n=k+1時(shí)，g_n（x）=$\frac{x}{1+nx}$也成立．
綜上可得：?n∈N^*，g_n（x）=$\frac{x}{1+nx}$成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用數(shù)學(xué)歸納法證明等式的方法、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性證明不等式的方法，考查了猜想能力、推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．