Question

3．設(shè)正項等差數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，若S₂₀₁₇=4034，則$\frac{1}{a_9}+\frac{9}{{{a_{2009}}}}$的最小值為（　�。�

• A． $\frac{3}{2}$
• B． $\frac{9}{4}$
• C． 2
• D． 4

Answer 1

分析 由差數(shù)列的前n項和公式，求出a₁+a₂₀₁₇=4．由等差數(shù)列的性質(zhì)得a₉+a₂₀₀₉=4，由此利用基本不等式能求出$\frac{1}{a_2}+\frac{1}{{{a_{2008}}}}$的最小值．

解答 解：由差數(shù)列的前n項和公式，得${S_{2017}}=\frac{{2017（{a_1}+{a_{2017}}）}}{2}=4034$，
則a₁+a₂₀₁₇=4．
由等差數(shù)列的性質(zhì)得a₉+a₂₀₀₉=4，
∴$\frac{1}{a_9}+\frac{9}{{{a_{2009}}}}=\frac{1}{4}（{a_9}+{a_{2009}}）（\frac{1}{a_9}+\frac{9}{{{a_{2009}}}}）=\frac{1}{4}（10+\frac{{{a_{2009}}}}{a_9}+\frac{{9{a_9}}}{{{a_{2009}}}}）≥\frac{1}{4}（10+2\sqrt{\frac{{{a_{2009}}}}{a_9}×\frac{{9{a_9}}}{{{a_{2009}}}}}）=\frac{1}{4}（10+6）=4$．
故選：D．

點評 本題考查數(shù)列兩項倒數(shù)和的最小值的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認真審題，注意等差數(shù)列的性質(zhì)的合理運用．