Question

19．在銳角△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a，b，c，且acosB，ccosC，bcosA成等差數(shù)列．
（1）求角C的值；
（2）求2sin²A+cos（A-B）的范圍．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理把題設(shè)中關(guān)于邊的等式轉(zhuǎn)換成角的正弦，進而利用兩角和公式化簡整理求得cosC，進而求得C．
（2）由A+B=$\frac{2π}{3}$，利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡已知可得2sin²A+cos（A-B）=1+$\sqrt{3}$sin（2A-$\frac{π}{3}$），由A+C＞$\frac{π}{2}$，可得$\frac{π}{6}$＜A＜$\frac{π}{2}$，求得范圍0＜2A-$\frac{π}{3}$＜$\frac{2π}{3}$，利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)可得0＜sin（2A-$\frac{π}{3}$）≤1，從而可求取值范圍是（1，1+$\sqrt{3}$]．

解答 解：（1）∵acosB，ccosC，bcosA成等差數(shù)列．
∴acosB+bcosA=2ccosC，
∴由題意得sinAcosB+sinBcosA=2sinCcosC，
即sinC=2sinCcosC，
∴cosC=$\frac{1}{2}$，
∴銳角C=$\frac{π}{3}$…6分
（2）∵C=$\frac{π}{3}$，∴A+B=$\frac{2π}{3}$，
∴2sin²A+cos（A-B）=1-cos2A+cos（2A-$\frac{2π}{3}$）
=1-cos2A-$\frac{1}{2}$cos2A+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2A
=1+$\sqrt{3}$sin（2A-$\frac{π}{3}$），
在銳角△ABC中，∵A+C＞$\frac{π}{2}$，
∴$\frac{π}{6}$＜A＜$\frac{π}{2}$，
則0＜2A-$\frac{π}{3}$＜$\frac{2π}{3}$，
則有0＜sin（2A-$\frac{π}{3}$）≤1，
即有1＜1+sin（2A-$\frac{π}{3}$）≤1+$\sqrt{3}$．
則所求取值范圍是（1，1+$\sqrt{3}$]…12分

點評 本題主要考查了正弦定理的應(yīng)用，三角函數(shù)的化簡和求值，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查二倍角公式，以及兩角和差的正弦、余弦公式，屬于中檔題．