Question

【題目】已知橢圓的上下兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，過點(diǎn)與軸垂直的直線交橢圓于兩點(diǎn)，的面積為，橢圓的長軸長是短軸長的倍.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)，與橢園交于兩個(gè)不同的點(diǎn)，若存在實(shí)數(shù)，使得，求的取值范圍，

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）根據(jù)已知設(shè)橢圓的焦距，當(dāng)時(shí)，，由題意得，的面積為，，，解得即可；

（2）設(shè) ，，，分類討論：當(dāng)時(shí)，利用橢圓的對稱性即可得出；時(shí)，直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立得到及根與系數(shù)的關(guān)系，再利用向量相等，代入計(jì)算即可得出．

(1)由題意可得 ,則,則，

的面積， ①

橢圓的長軸長是短軸長的倍，

②，

③，

由①②③解得，，

∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

(2)當(dāng)時(shí),則，由橢圓的對稱性得，即

時(shí),存在實(shí)數(shù),使得，

當(dāng)時(shí),得，

三點(diǎn)共線，，

設(shè),

由，得(，

由已知得,即

且，.

由得,

，

， 顯然不成立，

，

,即.

解得或.

綜上所述,的取值范圍為.