Question

7．位于A處的雷達(dá)觀測(cè)站，發(fā)現(xiàn)其北偏東45°，與A相距$20\sqrt{2}$海里的B處有一貨船正以勻速直線行駛，20分鐘后又測(cè)得該船位于觀測(cè)站A偏東45°+θ（0°＜θ＜45°）的C處，$AC=5\sqrt{13}$．在離觀測(cè)站A的正南方某處E，$cos∠EAC=\frac{{2\sqrt{13}}}{13}$
（1）求cosθ；
（2）求該船的行駛速度v（海里/小時(shí)）．

Answer 1

分析 （1）利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求得sin∠EAC的值，根據(jù)cosθ=cos（$\frac{3π}{4}$-∠EAC），利用兩角差的余弦公式求得結(jié)果．
（2）利用余弦定理求得BC的值，而且BC這段距離該船行駛了20分鐘，由此求得該船的行駛速度．

解答 解：（1）∵$cos∠EAC=\frac{{2\sqrt{13}}}{13}$，∴sin∠EAC=$\frac{3\sqrt{13}}{13}$．（2分）
∴cosθ=cos（$\frac{3π}{4}$-∠EAC）=-$\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{2\sqrt{13}}{13}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{3\sqrt{13}}{13}$=$\frac{\sqrt{26}}{26}$．（6分）
（2）利用余弦定理求得 BC²=AB²+AC²-2AB•AC•cosθ=925，∴BC=5$\sqrt{35}$．（10分）
又該船以勻速直線行駛了20分鐘的路程為5$\sqrt{35}$海里，
該船的行駛速度v=15$\sqrt{35}$（海里/小時(shí)）．（14分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查利用余弦定理求三角形的邊長(zhǎng)，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，兩角差的余弦公式的應(yīng)用，屬于中檔題．