Question

已知拋物線C的頂點為O(0,0),焦點F(0,1).

(1)求拋物線C的方程.

(2)過F作直線交拋物線C于A,B兩點.若直線AO,BO分別交直線l:y=x-2于M,N兩點,求|MN|的最小值.

Answer 1

【解題提示】(1)知道拋物線的焦點易求拋物線的方程;(2)可以先設出A,B兩點的坐標(設而不求),設出直線的方程,由已知條件把|MN|表示出來,進行求解.

【解析】(1)由題意可設拋物線C的方程為x²=2py(p>0),則=1,p=2,

所以拋物線C的方程為x²=4y.

(2)設A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),

直線AB的方程為:y=kx+1,

由消去y,整理得x²-4kx-4=0,

所以x₁+x₂=4k,x₁x₂=-4,

從而|x₁-x₂|=4,

由解得點M的橫坐標x_M===,

同理點N的橫坐標x_N=,

所以|MN|=|x_M-x_N|

=

=8

=.

令4k-3=t,t≠0,則k=,

當t>0時,|MN|=2>2,

當t<0時,|MN|=2≥,

綜上所述,當t=-,即k=-時,|MN|的最小值是.