Question

4．已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且3S_n=2×4ⁿ-2，n∈N^*．
（I）求數(shù)列{a_n}的通項公式a_n；
（II）設數(shù)列{b_n}滿足b_n=log₂a_n，求T_n=$\frac{1}{_{1}_{2}}$+$\frac{1}{_{2}_{3}}$+…+$\frac{1}{_{n}_{n+1}}$的表達式（用含n的代數(shù)式表示）．

Answer 1

分析 （I）運用數(shù)列遞推式：當n=1時，a₁=S₁；n≥2時，a_n=S_n-S_n-1．化簡整理即可得到所求通項公式；
（II）求得b_n=log₂a_n=log₂2×4^n-1=2n-1，$\frac{1}{_{k}_{k+1}}$=$\frac{1}{（2k-1）（2k+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2k-1}$-$\frac{1}{2k+1}$），運用數(shù)列的求和方法：裂項相消求和，即可得到所求和．

解答 解：（I）當n=1時，3a₁=3S₁=2×4-2=6，解得a₁=2；
n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{1}{3}$（2×4ⁿ-2-2×4^n-1+2）=2×4^n-1．
當n=1時也成立．
則數(shù)列{a_n}的通項公式a_n=2×4^n-1．
（II）b_n=log₂a_n=log₂2×4^n-1=2n-1，
$\frac{1}{_{k}_{k+1}}$=$\frac{1}{（2k-1）（2k+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2k-1}$-$\frac{1}{2k+1}$），
則T_n=$\frac{1}{_{1}_{2}}$+$\frac{1}{_{2}_{3}}$+…+$\frac{1}{_{n}_{n+1}}$=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）
=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2n+1}$）=$\frac{n}{2n+1}$．

點評 本題考查數(shù)列的通項公式的求法，注意運用數(shù)列遞推式：當n=1時，a₁=S₁；n≥2時，a_n=S_n-S_n-1．考查數(shù)列的求和方法：裂項相消求和，化簡整理的運算能力，屬于中檔題．