Question

8．已知函數(shù)f（x）=$\sqrt{3}$sinωxcosωx-$\frac{1}{2}$cos2ωx，ω＞0，x∈R，且函數(shù)f（x）的最小正周期為π；
（1）求ω的值和函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（2）在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別是a、b、c，又f（$\frac{A}{2}$+$\frac{π}{3}$）=$\frac{4}{5}$，b=2，△ABC的面積等于3，求邊長a的值．

Answer 1

分析 （1）利用倍角公式結(jié)合兩角差的正弦函數(shù)公式化簡函數(shù)解析式，再由周期公式列式求得ω的值，解得函數(shù)解析式，令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤2x+$\frac{π}{2}$，k∈Z，即可求得函數(shù)的增區(qū)間．
（2）由f（$\frac{A}{2}+\frac{π}{3}$）=$\frac{4}{5}$，可求sinA的值，利用三角形面積公式可求c，進而利用余弦定理即可求得a的值．

解答 （本題滿分為12分）
解：（1）因為f（x）=$\sqrt{3}$sinωxcosωx-$\frac{1}{2}$cos2ωx=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2ωx-$\frac{1}{2}$cos2ωx=sin（2ωx-$\frac{π}{6}$），…（2分）
由f（x）的最小正周期為π，得：ω=1，…（3分）
∵2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤2x+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
即 kπ-$\frac{π}{6}$≤x≤kπ+$\frac{π}{3}$，k∈Z，…（5分）
所以，函數(shù)的增區(qū)間為：[kπ-$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{π}{3}$]，k∈Z，…（6分）
（2）∵f（$\frac{A}{2}+\frac{π}{3}$）=sin（A+$\frac{π}{2}$）=$\frac{4}{5}$，A∈（0，π），
∴cosA=$\frac{4}{5}$，sinA=$\frac{3}{5}$，…（8分）
∵S=$\frac{1}{2}$bcsinA=3，b=2，sinA=$\frac{3}{5}$，
∴c=5． …（10分）
由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA=13，
∴a=$\sqrt{13}$．   …（12分）

點評 本題考查y=Asin（ωx+φ）型函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查了兩角和與差的正弦函數(shù)公式，三角形面積公式，余弦定理在解三角形中的應用，考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬中檔題．