Question

已知函數(shù)。

（1）求函數(shù)在區(qū)間上最小值；

（2）對（1）中的，若關(guān)于的方程有兩個不同的實數(shù)解，求實數(shù)的取值范圍；

（3）若點A，B，C，從左到右依次是函數(shù)圖象上三點，且這三點不共線，求證：是鈍角三角形。

 

Answer 1

【答案】

見解析.

【解析】本試題主要考查了導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的運用。

 解：(1)因為f(x)=2(x-a),所以=6-4ax=6x(x-a).令=0,得x=0或x=a. …………2分

①若a<,即0<a<1時, 則當(dāng)1x2時, >0,所以f(x)在區(qū)間[1,2]上是增函數(shù), 所以h(a)=f(1)=2-2a. …………4分

②若a<3,即1a<2時, 則當(dāng)1x<a時, <0, 當(dāng)a<x2時>0, 所以f(x)在區(qū)間[1, a]上是減函數(shù), 所以.在區(qū)間[a ,2]上是增函數(shù), 所以. h(a)== …………6分

③若a3,即a2時,當(dāng)1x2時, 0,所以f(x)在區(qū)間[1,2]上是減函數(shù), 所以h(a)=f(2)=16-8a

綜上所述,函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,2]上的最小值是 …………8分

 (2)．因為方程h(a)=k(a+1)有兩個不同的實數(shù)解,令y=k(a+1),可得y=h(a)圖象與直線y=k(a+1)有兩個不同的交點,而直線y=k(a+1)恒過定點(-1,0),由圖象可得的取值范圍是(-8,-2). …………12分

 (3).證明:不妨設(shè)<<,由(2)知>>,=(-,-),

=(-,-), 所以=(-)(-)+[-],因為-<0, ->0, ->0,-<0, 所以<0. 又因為A,B,C三點不共線, 所以,即為鈍角三角形…………16分