Question

兩條異面直線AB、CD分別在兩平行平面α、β上，α、β間的距離為d，若三棱錐A-BCD為正四面體，則其體積為（　�。�

• A、

  1

  3

  d³
• B、

  2

  3

  d³
• C、d³
• D、

  4

  3

  d³

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：分別取AB、CD中點E、F，連結(jié)AF，BF，由已知得EF是AB和CD的公垂線，從而EF=d，設(shè)正四面體A-BCD的棱長為a，作AO垂直于面BDC，求出AF，BF，OF，AO，由此能求出三棱錐A-BCD的體積．

解答： 解：分別取AB、CD中點E、F，連結(jié)AF，BF，
∵A-BCD是正四面體，∴AF=BF，∴EF⊥AB，
同理，EF⊥CD，∴EF是AB和CD的公垂線，
∵兩條異面直線AB、CD分別在兩平行平面α、β上，α、β間的距離為d，
∴EF=d，
設(shè)正四面體A-BCD的棱長為a，則AF=BF=

3

2

a，AE=BE=

a

2

，
∵AE²+EF²=AF²，∴

a2

4

+d2=

3

4

a2，∴a=

2

d，
作AO垂直于面BDC，交AF于O，
AF=BF=

3

2

a=

6

2

d，OF=

1

3

BF=

6

6

d，AO=

( 6 2 d)2-( 6 6 d)2

=

2 3

3

d，
∴三棱錐A-BCD的體積：
V=

1

3

S△BCD•AO=

1

3

×

1

2

×

2

d×

6

2

d×

2 3

3

d=

d3

3

．
故選：A．

點評：本題考查三棱錐的體積的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．