Question

13．已知函數(shù)$f（x）=2sin（2x+φ）\;（|φ|＜\frac{π}{2}）$部分圖象如圖所示．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及圖中x₀的值；
（Ⅱ）求f（x）在區(qū)間[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)函數(shù)的部分圖象得出最小正周期T以及x₀的值；
（Ⅱ）寫出f（x）的解析式，利用正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可求出f（x）在區(qū)間[0，$\frac{π}{2}$]上的最值．

解答 解：（Ⅰ）∵函數(shù)$f（x）=2sin（2x+φ）\;（|φ|＜\frac{π}{2}）$，
∴函數(shù)的最小正周期為T=$\frac{2π}{2}$=π；        …（2分）
因為點（0，1）在f（x）=2sin（2x+φ）的圖象上，
所以2sin（2×0+φ）=1；
又因為|φ|＜$\frac{π}{2}$，
所以φ=$\frac{π}{6}$，…（4分）
令2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，解得x=$\frac{π}{6}$，
所以x₀=π+$\frac{π}{6}$=$\frac{7π}{6}$；          …（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），
因為0≤x≤$\frac{π}{2}$，所以$\frac{π}{6}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤$\frac{7π}{6}$；
當2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，即x=$\frac{π}{6}$時，f（x）取得最大值2；
當2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{7π}{6}$，即x=$\frac{π}{2}$時，f（x）取得最小值-1．…（13分）

點評 本題考查了根據(jù)正弦函數(shù)的部分圖象求函數(shù)解析式的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．