Question

13．已知AB是拋物線y²=2px（p＞0）的過焦點F的一條弦．設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB的中點為M（x₀，y₀）．求證：（1）|AB|=2（x₀+$\frac{p}{2}$）；
（2）若AB的傾斜角為θ，|AB|=$\frac{2p}{si{n}^{2}θ}$；
（3）x₁x₂=$\frac{{p}^{2}}{4}$，y₁y₂=-p²；
（4）$\frac{1}{|AF|}$+$\frac{1}{|BF|}$為定值$\frac{2}{p}$．

Answer 1

分析 （1）由拋物線定義可得結論；
（2）設直線AB的方程為x=my+$\frac{p}{2}$，代入y²=2px，可得y²-2pmy-p²=0，再利用韋達定理，即可得到結論；
（3）利用韋達定理，即可得到結論
（4）利用拋物線的定義，可得結論．

解答 證明：（1）由拋物線定義可得|AB|=x₁+$\frac{p}{2}$+x₂+$\frac{p}{2}$=x₁+x₂+p=2（x₀+$\frac{p}{2}$）；
（2）設直線AB的方程為x=my+$\frac{p}{2}$，代入y²=2px，可得y²-2pmy-p²=0，
y₁y₂=-p²，y₁+y₂=2pm，
∴y₁²+y₂²=2p（x₁+x₂）=4p²m²+2p²，∴x₁+x₂=2pm²+p，
∴θ=90°時，m=0，∴|AB|=2p=$\frac{2p}{si{n}^{2}θ}$；θ≠90°時，m=$\frac{1}{tanθ}$，|AB|=$\frac{2p}{ta{n}^{2}θ}$+2p=$\frac{2p}{si{n}^{2}θ}$．
∴|AB|=x₁+x₂+p=$\frac{2p}{si{n}^{2}θ}$．
（3）由（2）知，y₁y₂=-p²，∴x₁x₂=$\frac{（{y}_{1}{y}_{2}）^{2}}{4{p}^{2}}$=$\frac{{p}^{2}}{4}$；
（4）$\frac{1}{|AF|}$+$\frac{1}{|BF|}$=$\frac{1}{{x}_{1}+\frac{p}{2}}$+$\frac{1}{{x}_{2}+\frac{p}{2}}$=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}+p}{{x}_{1}{x}_{2}+{x}_{1}+{x}_{2}+\frac{{p}^{2}}{4}}$=$\frac{2}{p}$．

點評 本題主要考查了拋物線的簡單性質及拋物線與直線的關系．當遇到拋物線焦點弦問題時，常根據(jù)焦點設出直線方程與拋物線方程聯(lián)立，把韋達定理和拋物線定義相結合解決問題．