Question

【題目】已知函，其中.

（Ⅰ）若，求曲線在點(diǎn)（2，f（2））處的切線方程；

（Ⅱ）若在區(qū)間上，f（x）>0恒成立，求a的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) y=6x-9 ;(2) 0<a<5.

【解析】

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，代入函數(shù)的解析式求得和，進(jìn)而求得，即切線的斜率為，再利用直線的點(diǎn)斜式方程，即可求解；

（Ⅱ）求出時(shí)的值，分和兩種情況討論函數(shù)的增減性分別取得和，及和都大于，聯(lián)立分別求解的解集，取并集，即可得到的取值范圍.

（Ⅰ）解：當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=，f（2）=3；, .

所以曲線y=f（x）在點(diǎn)（2，f（2））處的切線方程為y-3=6（x-2），即y=6x-9

（Ⅱ）解：.令，解得x=0或x=

以下分兩種情況討論：

若，當(dāng)x變化時(shí)，，的變化情況如下表：

X		0
f’(x)	+	0	-
f(x)		極大值

當(dāng)等價(jià)于

解不等式組得-5<a<5.因此.

(2)若a>2，則.當(dāng)x變化時(shí)，，的變化情況如下表：

X		0
f’(x)	+	0	-	0	+
f(x)		極大值		極小值

當(dāng)時(shí)，f（x）>0等價(jià)于即

解不等式組得或.因此2<a<5

綜合（1）和（2），可知a的取值范圍為0<a<5.