Question

證明：1+

1

2

+

1

3

+…+

1

2n-1

＜n．（n＞1，n∈N₊）

Answer 1

考點：歸納推理,不等式的證明

專題：歸納法,點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學歸納法,推理和證明

分析：利用數(shù)學歸納法證明．當n取初始值2時，代入原不等式中，可得到驗證；假設n=k時，原不等式成立，寫出n=k+1時，不等式左邊的和式，再設法將其放大到k+1，從而由n=k時成立，推出n=k+1時也成立，根據(jù)歸納法原理，即可得知，原不等式對所有的n＞1，n∈N₊都成立．

解答： 證明：（1）當n=2時，1+

1

2

+

1

3

=

11

6

＜2，原不等式成立．
（2）假設n=k時，原不等式成立，即1+

1

2

+

1

3

+…+

1

2k-1

＜k，則
當n=k+1時，1+

1

2

+

1

3

+…+

1

2k-1

+

1

2k

+

1

2k+1

+…

1

2k+2k-1

＜k+

1

2k

+

1

2k

…+

1

2k

=k+

1

2k

•2k=k+1．
即n=k+1時，原不等式也成立．
綜合（1）、（2）知，對一切n＞1，且n∈N₊，都有1+

1

2

+

1

3

+…+

1

2n-1

＜n．

點評：本題考查了利用數(shù)學歸納法證明不等式，證明時應注意以下幾點：
①對于初始值的驗證與歸納假設，二者缺一不可；
②當n=k+1時，應弄清不等式左邊有多少項，以及各項是什么；
③必須利用歸納假設，并適當?shù)胤趴s到n=k+1時不等式右邊的情形．