Question

若a、b為正實數(shù)，a+b=3，則

1+a

+

1+b

的最大值是

10

．

Answer 1

分析：由題設條件，由于

1+a

+

1+b

是一個非負數(shù)，故可通過求

1+a

+

1+b

的平方的最值來求其最值

解答：解：

1+a

+

1+b

=

1+a+2 (1+a)(1+b) +1+b

=

2+a+b+2 2+a+b+ab

又a、b為正實數(shù)，a+b=3
∴

1+a

+

1+b

=

5+2 4+ab

≤

5+2 4+( a+b 2 ) 2

=

10

，等號當且僅當a=b=

3

2

時成立
故答案為

10

點評：本題考查基本不等式在最值問題中的應用，解題的關鍵是把代數(shù)式的形式變?yōu)榭梢岳�用基本不等式變形的形式，這也是本題的難點與重點，利用不等式求最值的題都有一個明顯的特征，即所涉及的數(shù)（或式）是同號的，且出現(xiàn)了和為定值或積為定值的情形．本題考查了構造的技巧與轉化的思想．