Question

【題目】數列{an}滿足a1=1，an+1= （n∈N*）．
（1）計算a2 ， a3 ， a4 ， 并由此猜想通項公式an；
（2）用數學歸納法證明（1）中的猜想．

Answer 1

【答案】
（1）解：a2= ，a3= = ，a4= = ．

猜想：an= ．

（2）證明：當n=1時，a1= ，結論成立，

假設n=k時猜想成立，即ak= ，

則ak+1= = = = = ．

即當n=k+1時，猜想成立．

∴對一切n∈N，都有an=

【解析】（1）根據遞推式計算，猜想；（2）檢驗n=1時猜想成立，假設n=k時猜想成立，證明當n=k+1時猜想也成立．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用數列的通項公式和數學歸納法的定義的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握如果數列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數列的通項公式；數學歸納法是證明關于正整數n的命題的一種方法．