Question

【題目】以三角形邊，，為邊向形外作正三角形，，，則，，三線共點(diǎn)，該點(diǎn)稱為的正等角中心．當(dāng)的每個(gè)內(nèi)角都小于120時(shí)，正等角中心點(diǎn)P滿足以下性質(zhì)：

（1）；（2）正等角中心是到該三角形三個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn)（也即費(fèi)馬點(diǎn)）．由以上性質(zhì)得的最小值為_________

Answer 1

【答案】

【解析】

由題可知，所要求的代數(shù)式恰好表示平面直角坐標(biāo)系中三個(gè)距離之和，所以首先要把代數(shù)式中三個(gè)距離的對應(yīng)的點(diǎn)找到，再根據(jù)題干所述找到相應(yīng)的費(fèi)馬點(diǎn)，即可得出結(jié)果．

解：根據(jù)題意，在平面直角坐標(biāo)系中，令點(diǎn)，，，

則表示坐標(biāo)系中一點(diǎn)到點(diǎn)、、的距離之和，

因?yàn)?/span>是等腰三角形，，

所以點(diǎn)在軸負(fù)半軸上，所以與軸重合，

令的費(fèi)馬點(diǎn)為，則在上，則，

因?yàn)?/span>是銳角三角形，由性質(zhì)（1）得，

所以，所以，所以，

，到、、的距離分別為，，

所以的最小值，

即為費(fèi)馬點(diǎn)到點(diǎn)、、的距離之和，則．

故答案為：．