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如圖，在正方體中，分別是的中點.

（1）證明：；

（2）求異面直線所成的角；

（3）證明：.

 

 

 

 

答案：
解析：

解  （1）∵多面體AC1是正方體，

∴AD⊥面DC1.

又∵D1F平面DC1，

∴AD⊥D1F.（……3分）

用向量做的酌情給分

（2）如圖，取AB的中點G，連結A1G，FG.

因為F是CD的中點，所以GF、AD平行且相等，又A1D1、AD平行且相等，

所以GF、A1D1平行且相等，故GFD1A1是平行四邊形，

A1G∥D1F。設A1G與AE相交于點H，

則∠AHA1（或其補角）是AE與D1F所成的角.（……5分）

因為E是BB1的中點，所以Rt△A1AG≌Rt△ABE,∠GA1A=∠GAH，從而∠AHA1=90，即直線AE與D1F所成角為直角.（……6分）

用向量做的酌情給分

（3）由（1）知AD⊥D1F，由（2）知AE⊥D1F，又AD∩AE=A，所以D1F⊥面AED.又因為D1F面A1FD1，所以面AED⊥面A1FD1。（……9分）

方法2、不妨設正方形的邊長為建立空間坐標系

O—如圖，則D(0,0,0),A,A1,,

,,

(3)

(2)又

并且,所以

(3)同方法1.用基向量的根據(jù)同步標準給分


練習冊系列答案
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如圖，在正方體中，，分別是棱，的中點，求證：平面．

 


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B．與平面相交

C．在平面內

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、分別為棱、的中點．

（1）求證：∥平面；

（2）求證：平面⊥平面；

（3）如果，一個動點從點出發(fā)在正方體的

表面上依次經(jīng)過棱、、、、上的點，最終又回到點，指出整個路線長度的最小值并說明理由.

 

 

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（本小題滿分12分）如圖，在正方體中，、分別為棱、的中點．

（1）求證：平面⊥平面；

（2）如果，一個動點從點出發(fā)在正方體的表面上依次經(jīng)過棱、、、、上的點，最終又回到點，指出整個路線長度的最小值并說明理由.

 

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