Question

【題目】湖北省從2021年開始將全面推行新高考制度，新高考“3+1+2”中的“2”要求考生從政治、化學(xué)、生物、地理四門中選兩科，按照等級賦分計入高考成績，等級賦分規(guī)則如下：高考政治、化學(xué)、生物、地理四門等級考試科目的考生原始成績從高到低劃分為A，B，C，D，E五個等級，確定各等級人數(shù)所占比例分別為15%，35%，35%，13%，2%，等級考試科目成績計入考生總成績時，將A至E等級內(nèi)的考生原始成績，依照等比例轉(zhuǎn)換法分別轉(zhuǎn)換到、、、、五個分?jǐn)?shù)區(qū)間，得到考生的等級分，等級轉(zhuǎn)換分滿分為100分.具體轉(zhuǎn)換分?jǐn)?shù)區(qū)間如下表：

等級	A	B	C	D	E
比例	15%	35%	35%	13%	2%
賦分區(qū)間

而等比例轉(zhuǎn)換法是通過公式計算：，其中、分別表示原始分區(qū)間的最低分和最高分，、分別表示等級分區(qū)間的最低分和最高分，Y表示原始分，T表示轉(zhuǎn)換分，當(dāng)原始分為、時，等級分分別為、，假設(shè)小明同學(xué)的生物考試成績信息如下表：

考試科目	考試成績	成績等級	原始分區(qū)間	等級分區(qū)間
生物	75分	B等級

設(shè)小明轉(zhuǎn)換后的等級成績?yōu)?/span>T，根據(jù)公式得：，所以（四舍五入取整），小明最終生物等級成績?yōu)?/span>77分.已知某學(xué)校學(xué)生有60人選了政治，以期中考試成績?yōu)樵�始成績轉(zhuǎn)換該學(xué)校選政治的學(xué)生的政治等級成績，其中政治成績獲得A等級的學(xué)生原始成績統(tǒng)計如下表：

成績	90	86	81	80	79	78	75
人數(shù)	1	2	1	1	2	1	1

（1）從政治成績獲得A等級的學(xué)生中任取3名，求至少有2名同學(xué)的等級成績不小于93分的概率；

（2）從政治成績獲得A等級的學(xué)生中任取4名，設(shè)4名學(xué)生中等級成績不小于93分人數(shù)為，求的分布列和期望.

Answer 1

【答案】（1）（2）見詳解

【解析】

（1）根據(jù)已知可得，等級的學(xué)生原始分區(qū)間的最低和最高分為和，等級分區(qū)間的最低和最高分為和，設(shè)政治成績獲得等級的學(xué)生原始成績?yōu)?/span>，等級成績?yōu)?/span>，利用轉(zhuǎn)換公式可得，由等級成績不小于，可求出原始成績，對照原始成績表，再計算概率即得；（2）由（1）知等級成績不小于分人數(shù)為人，獲得等級的學(xué)生有人，可得的可能取值為，計算出對應(yīng)的概率，可得分布列，再由期望的計算公式，即得.

（1）設(shè)政治成績獲得等級的學(xué)生原始成績?yōu)?/span>，等級成績?yōu)?/span>，由轉(zhuǎn)換公式得，即，則，解得.

根據(jù)成績統(tǒng)計表顯示滿足的同學(xué)只有人，獲得等級的學(xué)生有人，故從政治成績獲得等級的學(xué)生中任取名，至少有名同學(xué)的成績不小于分的概率為.

（2）由題意，等級成績不小于分人數(shù)為人，獲得等級的學(xué)生有人，的可能取值為，則，，，，所以的分布列為：

則的期望為：.