Question

2．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右頂點(diǎn)分別為A₁，A₂，且|A₁A₂|=4，上頂點(diǎn)為B，若直線BA₁與圓M：（x+1）²+y²=$\frac{3}{7}$相切．
（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）直線l：x=2$\sqrt{2}$與x軸交于D，P是橢圓C上異于A₁、A₂的動(dòng)點(diǎn)，直線A₁P、A₂P分別交直線l于E、F兩點(diǎn)，求證：|DE|•|DF|為定值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由條件可得到A₁（-2，0），B（0，b），從而可以寫出直線BA₁的方程，這樣即可得出圓心（-1，0）到該直線的距離為$\frac{\frac{2}}{\sqrt{\frac{^{2}}{4}+1}}=\sqrt{\frac{3}{7}}$，從而可以求出b，這便可得出橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（Ⅱ）可設(shè)P（x₁，y₁），從而有$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}+\frac{{{y}_{1}}^{2}}{3}=1$，可寫出直線A₁P的方程為$y=\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+2}（x+2）$，從而可以求出該直線和直線x=$2\sqrt{2}$的交點(diǎn)E的坐標(biāo)，同理可得到點(diǎn)F的坐標(biāo)，這樣即可得出|DE|，|DF|，然后可求得|DE|•|DF|=3，即得出|DE|•|DF|為定值．

解答 解：（Ⅰ）由題意得A₁（-2，0），B（0，b）；
∴直線BA₁的方程為$y=\frac{2}（x+2）$；
∴圓心（-1，0）到直線BA₁的距離為$\frac{\frac{2}}{\sqrt{\frac{^{2}}{4}+1}}=\sqrt{\frac{3}{7}}$；
解得b²=3；
∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（Ⅱ）證明：設(shè)P（x₁，y₁），則$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}+\frac{{{y}_{1}}^{2}}{3}=1$，${k}_{{A}_{1}P}=\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+2}$；
∴直線A₁P的方程為$y=\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+2}（x+2）$；
∴$E（2\sqrt{2}，（2\sqrt{2}+2）\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+2}）$；
同理得，$F（2\sqrt{2}，（2\sqrt{2}-2）\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-2}）$；
∴$|DE|•|DF|=（2\sqrt{2}+2）•\frac{{|y}_{1}|}{{x}_{1}+2}•（2\sqrt{2}-2）$$•\frac{|{y}_{1}|}{2-{x}_{1}}=4•\frac{{{y}_{1}}^{2}}{4-{{x}_{1}}^{2}}=4•\frac{{{y}_{1}}^{2}}{\frac{4{{y}_{1}}^{2}}{3}}=3$；
∴|DE|•|DF|為定值．

點(diǎn)評(píng) 考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，橢圓的頂點(diǎn)坐標(biāo)，以及圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線和圓相切時(shí)，圓心到直線的距離等于半徑，根據(jù)兩點(diǎn)坐標(biāo)求過這兩點(diǎn)的直線的斜率的計(jì)算公式，直線的點(diǎn)斜式方程．