Question

【題目】已知函數(shù).

（1）若是函數(shù)的極值點(diǎn)，求a的值；

（2）當(dāng)時(shí)，證明：.

Answer 1

【答案】（1）（2）證明見解析；

【解析】

（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)極值的定義，得到關(guān)于a的方程，解出驗(yàn)證即可；

（2）根據(jù)不等式的性質(zhì)，問題轉(zhuǎn)化為只需證明，

令，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，然后判斷出函數(shù)的單調(diào)性，最后利用函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在原理進(jìn)行求解即可.

解：（1），

由題意知 ，

又設(shè)

顯然當(dāng)時(shí)，，因此函數(shù)是增函數(shù)，

而，所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，

當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，故是函數(shù)的極小值點(diǎn)，故符合題意；

（2）當(dāng)時(shí)，對(duì)于時(shí)，有，

即，

故要證明，只需證明，

令，即只需證明

則有，

設(shè)

則顯然當(dāng)時(shí)，，因此函數(shù)是增函數(shù)，

，

故存在，使得，即，

因此當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，

當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，

所以有

又，∴，

設(shè)

則

單調(diào)遞減，

因此有

故，故

原不等式得證.