Question

4．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+2x，x≤0}\\{ln（x+1），x＞0}\end{array}\right.$，若|f（x）|≥2ax，則a的取值范圍是[-1，0]．

Answer 1

分析 函數(shù)y=|f（x）|的圖象經(jīng)過原點，且不會出現(xiàn)在x軸下方，y=2ax的圖象是經(jīng)過原點，且斜率為2a的直線，利用導(dǎo)數(shù)法，求出函數(shù)y=|f（x）|的斜率范圍，結(jié)合|f（x）|≥2ax，可得a的取值范圍．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+2x，x≤0}\\{ln（x+1），x＞0}\end{array}\right.$，
∴當(dāng)x≤0時，y=|f（x）|=x²-2x，
則y′=2x-2≤-2恒成立，
當(dāng)x＞0時，y=|f（x）|=ln（x+1），
則y′=$\frac{1}{x+1}$∈（0，1），
由y=2ax的圖象是經(jīng)過原點，且斜率為2a的直線，
若|f（x）|≥2ax，則-2≤2a≤0，
解得：a∈[-1，0]，
故a的取值范圍是[-1，0]，
故答案為：[-1，0]

點評 本題考查的知識點是分段函數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的圖象和性質(zhì)，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，難度中檔．