Question

4．已知定義域?yàn)镽的函數(shù)y=f（x）在[0，7]上只有1和3兩個零點(diǎn)，且y=f（2-x）與y=f（7+x）都是偶函數(shù)，則函數(shù)y=f（x）在[-2015，2015]上的零點(diǎn)個數(shù)為（　�。�

• A． 804
• B． 805
• C． 806
• D． 807

Answer 1

分析 根據(jù)y=f（2-x）與y=f（7+x）都是偶函數(shù)，得到函數(shù)f（x）=f（10+x）即函數(shù)是周期函數(shù)，利用函數(shù)的周期性即可得到函數(shù)零點(diǎn)的個數(shù)．

解答 解：∵y=f（2-x）與y=f（7+x）都是偶函數(shù)，
∴f（2-x）=f（2+x），f （7+x）=f（7-x），即f（x）關(guān)于x=2和x=7對稱．
∵f（2-x）=f（2+x），∴f（4-x）=f（x）；
∵f（7-x）=f（7+x），∴f（4-x）=f（10+x），∴f（x）=f（10+x），
即10是函數(shù)f（x）的一個周期．
∵f（7-x）=f（7+x），函數(shù)f（x）在[4，7]上無根．∴函數(shù)f（x）在[7，10]上無根．
∴f（x）=0在[0，10]上恰有兩根為1和3．
f（x）=0的根為10n+1或10n+3的形式．
∴0≤10n+1≤2015，解得0≤n≤201.4，共202個
∴0≤10n+3≤2015，解得0≤n≤201.2，共202個，
∴方程f（x）=0在閉區(qū)間[0，2013]上根的個數(shù)為404個，
同理可得，方程f（x）=0在區(qū)間[-2015，0）上根的個數(shù)為402個，
故方程f（x）=0在[-2015，2015]上的根的個數(shù)為806個，
故函數(shù)y=f（x）在[-2015，2015]上的零點(diǎn)個數(shù)為806個，
故選：C．

點(diǎn)評 本題主要考查函數(shù)零點(diǎn)的個數(shù)的判斷，利用函數(shù)的奇偶性得到函數(shù)的周期性是解決本題的關(guān)鍵，綜合考查函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．