Question

（08年湖南卷理）（本小題滿分13分）

若A、B是拋物線上的不同兩點(diǎn)，弦AB（不平行于y軸）的垂直平分線與

x軸相交于點(diǎn)P，則稱弦AB是點(diǎn)P的一條“相關(guān)弦”.已知當(dāng)時(shí)，點(diǎn)

存在無窮多條“相關(guān)弦”.給定.

（I）證明：點(diǎn)的所有“相關(guān)弦”的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同；

(II) 試問：點(diǎn)的“相關(guān)弦”的弦長(zhǎng)中是否存在最大值？

若存在，求其最大值（用x₀表示）：若不存在，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

解: （I）設(shè)AB為點(diǎn)的任意一條“相關(guān)弦”，且點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別是

,則,

兩式相減得.因?yàn)?I>x₁x₂,所以y₁+y₂0.

設(shè)直線AB的斜率是k，弦AB的中點(diǎn)是,則

k=.從而AB的垂直平分線l的方程為

又點(diǎn)P（x₀,0）在直線上，所以

而于是故點(diǎn)P（x₀,0）的所有“相關(guān)弦”的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)都是x₀-2.

(Ⅱ)由(Ⅰ)知，弦AB所在直線的方程是，代入中，

整理得     （?）

則是方程（?）的兩個(gè)實(shí)根，且

設(shè)點(diǎn)P的“相關(guān)弦”AB的弦長(zhǎng)為l，則

   

因?yàn)?IMG height=27 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/img/20090320/20090320094329020.gif' width=220>,于是設(shè)t=,則t(0,4x₀-8).

記^.

若,則,所以當(dāng),即=2(x₀-3)時(shí),

l有最大值.

若,則,在區(qū)間上是減函數(shù)，

所以,l不存在最大值.

綜上所述，當(dāng)x₀>3時(shí)，點(diǎn)的“相關(guān)弦”的弦長(zhǎng)中存在最大值，且最大值

為2（x₀-1）；當(dāng)2< x₀3時(shí)，點(diǎn)的“相關(guān)弦”的弦長(zhǎng)中不存在最大值.