Question

數(shù)列滿足：，（其中表示的整數(shù)部分，），試求的值.

Answer 1

解析：觀察數(shù)列開初的一些項(xiàng)：

	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
	1	1	1	1	2	2	2	3	3	4	4	4	5	5	6	6	7	7	8	8	8
	1	2	3	4	6	8	10	13	16	20	24	28	33	38	44	50	57	64	72	80	88

我們注意到，數(shù)列嚴(yán)格單增，每個(gè)正整數(shù)，順次在數(shù)列中出現(xiàn)，并且除了首項(xiàng)之外，每個(gè)形如的數(shù)連續(xù)出現(xiàn)三次，其它數(shù)各連續(xù)出現(xiàn)兩次.…5 分

一般地，我們可證明數(shù)列的以下性質(zhì)：

（1）若記，則,

（2） 若記則當(dāng)時(shí)，有 …10分

對(duì)歸納.據(jù)上面所列出的項(xiàng)可知，當(dāng)時(shí)結(jié)論成立.設(shè)性質(zhì)對(duì)于成立，即在時(shí)，，則

再對(duì)滿足的歸納：

當(dāng)時(shí)，由于，則，

因?yàn)?IMG height=32 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/img/20090724/20090724083911028.gif' width=301>，則

設(shè)當(dāng)時(shí)，均有，則當(dāng)時(shí)，因?yàn)?/p>

…①

則，

即有，所以

由于

所以

故由歸納法，當(dāng)時(shí)，

特別是，當(dāng)時(shí)，上式成為②

又由①，當(dāng)，有

所以③

由②③可知，對(duì)于當(dāng)時(shí)，亦有

，從而性質(zhì)成立.    …………………15分

因?yàn)?IMG height=18 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/img/20090724/20090724083911053.gif' width=140>，取，則，，

因此.     …………………20分