Question

“關于x的不等式x+

1

x

＞a在區(qū)間[

1

2

，2]內(nèi)至少有一個解”是“a＜2”的（　�。�

• A、充分不必要條件
• B、必要不充分條件
• C、充要條件
• D、既不充分也不必要條件

Answer 1

考點：必要條件、充分條件與充要條件的判斷

專題：簡易邏輯

分析：由關于x的不等式x+

1

x

＞a在區(qū)間[

1

2

，2]內(nèi)至少有一個解，可得a＜(x+

1

x

)max，x∈[

1

2

，2]．利用導數(shù)研究其單調性極值與最值即可得出．

解答： 解：由關于x的不等式x+

1

x

＞a在區(qū)間[

1

2

，2]內(nèi)至少有一個解，∴a＜(x+

1

x

)max，x∈[

1

2

，2]．
令f（x）=x+

1

x

，x∈[

1

2

，2]．則f′(x)=1-

1

x2

=

x2-1

x2

，
當x∈[

1

2

，1)時，f′（x）＜0，此時函數(shù)f（x）單調遞減；當x∈（1，2]時，f′（x）＞0，此時函數(shù)f（x）單調遞增．
∵f(

1

2

)=

5

2

=f（2）．
∴當x=2或

1

2

時，函數(shù)f（x）取得最大值

5

2

．
∴a＜

5

2

．
“關于x的不等式x+

1

x

＞a在區(qū)間[

1

2

，2]內(nèi)至少有一個解”是“a＜2”的必要非充分條件．
故選：B．

點評：本題考查了利用導數(shù)研究其單調性極值與最值、簡易邏輯，屬于中檔題．