Question

（2013•長春一模）已知函數(shù)f（x）=e^x（ax²-2x-2），a∈R且a≠0．
（1）若曲線y=f（x）在點P（2，f（2））處的切線垂直于y軸，求實數(shù)a的值；
（2）當a＞0時，求函數(shù)f（|sinx|）的最小值；
（3）在（1）的條件下，若y=kx與y=f（x）的圖象存在三個交點，求k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）欲求實數(shù)a的值，只須求出切線斜率的值列出關(guān)于a的等式即可，故先利用導數(shù)求出在x=2處的導函數(shù)值，再結(jié)合導數(shù)的幾何意義即可求出切線的斜率，最后利用斜率為0即可求得a；
（2）求出函數(shù)的導數(shù)，討論a的取值范圍，再根據(jù)導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性，從而可求出函數(shù)的最小值；
（3）欲使y=kx與y=f（x）的圖象存在三個交點，只需kx=e^x（x²-2x-2）有三解，將k分離，研究另一側(cè)函數(shù)的圖象性質(zhì)，結(jié)合圖象可求出k的取值范圍．

解答：解：（1）f′（x）=（e^x）′•（ax²-2x-2）+e^x•（ax²-2x-2）′
=e^x•（ax²-2x-2）+e^x•（2ax-2）
=a•e^x•（x-

2

a

）（x+2）．
∵曲線y=f（x）在點P（2，f（2））處的切線垂直于y軸，
由導數(shù)的幾何意義得f′（2）=0，
∴a=1．
∴實數(shù)a的值為：1．
（2）由（1）可知設(shè)|sinx|=t，（0≤t≤1），則轉(zhuǎn)化為求函數(shù)y=f（t），（0≤t≤1）的最小值．
∵a＞0∴f′（x）=e^x•[ax²+（2a-2）x-4]=a•e^x•（x-

2

a

）（x+2）．
令f′（x）=0，解得x=

2

a

或x=-2（舍）．
若

2

a

≥1，即0＜a≤2時，x∈[0，1]時，f′（x）＜0，
函數(shù)f（t）在[0，1]上為減函數(shù)則函數(shù)f（t）的最小值為f（1）=（a-4）e；
若0＜

2

a

＜1，即a＞2時，函數(shù)f（t）在（0，

2

a

）上遞減，在（

2

a

，1）上遞增
∴函數(shù)f（t）的最小值為f（

2

a

）=-2e

2

a

∴當0＜a≤2時，函數(shù)f（|sinx|）的最小值為（a-4）e
當a＞2時，函數(shù)f（|sinx|）的最小值為-2e

2

a

（3）∵y=kx與y=f（x）的圖象存在三個交點
∴kx=e^x（x²-2x-2）有三解，即k=

ex(x2-2x-2)

x

而令g（x）=

ex(x2-2x-2)

x

則g′（x）=

ex(x3-4x)-ex(x2-4)

x2

=

ex(x3-x2-4x+4)

x2

．
令g′（x）=0解得x=1或2或-2
當x＜-2時，g′（x）＜0，當-2＜x＜0時，g′（x）＞0，
當0＜x＜1時，g′（x）＞0，當1＜x＜2時，g′（x）＜0，當x＞2時，g′（x）＞0
∴當x=-2時函數(shù)取極小值g（-2）=-3e^-2，當x=1時，函數(shù)取極大值g（1）=-3e，
當x=2時，函數(shù)取極小值g（2）=-e²，畫出函數(shù)圖象
結(jié)合函數(shù)的圖象可知-e²＜k＜-3e或-3e^-2＜k＜0

點評：本題主要考查了利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程，以及利用導數(shù)研究函數(shù)的極值，同時考查了轉(zhuǎn)化的思想和運算求解的能力，屬于難題．