Question

19．三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，3個側(cè)面與底面所成的角分別為30°、45°、60°，底面面積為$\sqrt{6}$，求三棱錐的體積．

Answer 1

分析 設(shè)S到底面的距離SH=h，連接AH，BH，CH延長交對邊于D，E，F(xiàn)，連接SD，SE，SF，由SA，SB，SC兩兩垂直，可得H為垂心，由線面垂直的判斷和性質(zhì)，可得3個側(cè)面與底面所成的角，再由解直角三角形，可得h的關(guān)系式，運用等積法，可得h，進而得到體積．

解答 解：設(shè)三棱錐S-ABC三側(cè)棱長分別為SA=x，SB=y，SC=z，
S到底面的距離SH=h，
連接AH，BH，CH延長交對邊于D，E，F(xiàn)，
連接SD，SE，SF，
由SA，SB，SC兩兩垂直，可得H為垂心，
由線面垂直的性質(zhì)定理，SD⊥BC，SE⊥AC，SF⊥AB，
即有∠SDA=30°，∠SEB=45°，∠SFC=60°，
在直角三角形SAD中，SA=x=$\frac{h}{cos30°}$，
同理可得SB=y=$\frac{h}{cos45°}$，SC=z=$\frac{h}{cos60°}$，
由體積公式可得，V_S-ABC=V_B-SAC，
即為$\frac{1}{3}$•$\frac{1}{2}$xyz=$\frac{1}{3}$•h•$\sqrt{6}$，
代入化簡可得h=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
則三棱錐的體積為$\frac{1}{3}$•h•$\sqrt{6}$=1．

點評 本題考查空間二面角的求法和棱錐體積的計算，考查線面位置關(guān)系，考查運算能力，屬于中檔題．