Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和為Sn=2n2，{b_n}為等比數(shù)列，且b1=a1，b4=

1

32

．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）設(shè)cn=

an

bn

，求數(shù)列{c_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由數(shù)列{a_n}的前n項和為Sn=2n2，能求出a_n=4n-2．由{b_n}為等比數(shù)列，且b1=a1，b4=

1

32

，能求出b_n．
（Ⅱ）由a_n=4n-2，b_n=2^3-2n，知cn=

an

bn

=

4n-2

23-2n

=

2n-1

22-2n

．故數(shù)列{c_n}的前n項和T_n=1+

3

2-2

+

5

2-4

+…+

2n-3

24-2n

+

2n-1

22-2n

，由此利用錯位相減法能求出數(shù)列{c_n}的前n項和T_n．

解答：解：（Ⅰ）∵數(shù)列{a_n}的前n項和為Sn=2n2，
∴a₁=S₁=2，
a_n=S_n-S_n-1=2n²-2（n-1）²=4n-2．
當(dāng)n=1時，4n-2=2=a₁，
∴a_n=4n-2．
∵{b_n}為等比數(shù)列，且b1=a1，b4=

1

32

，
∴b₁=2，b4=2q3=

1

32

，
解得q=

1

4

．
∴b_n=2×（

1

4

）^n-1=2^3-2n．
（Ⅱ）∵a_n=4n-2，b_n=2^3-2n，
∴cn=

an

bn

=

4n-2

23-2n

=

2n-1

22-2n

．
∴數(shù)列{c_n}的前n項和T_n=1+

3

2-2

+

5

2-4

+…+

2n-3

24-2n

+

2n-1

22-2n

，①
2²S_n=

1

2-2

+

3

2-4

+

5

2-6

+…+

2n-3

22-2n

+

2n-1

2-2n

，②
①-②，-3S_n=1+（2³+2⁵+2⁷+…+2^2n-1）-

2n-1

2-2n

=1+

23(1-4n-1)

1-4

-

2n-1

2-2n

=1+

8

3

(4n-1-1)-(2n-1)4n ，
∴S_n=-

1

3

+

8

9

（1-4^n-1）+

(2n-1)

3

•4n．

點評：本題考查數(shù)列的通項公式和前n項和公式的應(yīng)用，解題時要認(rèn)真審題，注意錯位相減法的合理運用．