Question

設(shè)函數(shù)f（x）=

1+4x

2x

．
（1）判斷f（x）的奇偶性．
（2）用定義法證明f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增．

Answer 1

分析：（1）由偶函數(shù)的定義，證明f（-x）=f（x）即可；
（2）由單調(diào)性定義，任取定義域內(nèi)x₁＞x₂，證明f（x₁）-f（x₂）＞0即可．

解答：解：（1）∵函數(shù)f（x）的定義域為R，關(guān)于原點對稱．
∴f（-x）=

1+4-x

2-x

=

(1+4-x)•4x

2-x•4x

=

1+4x

2x

=f（x），所以f（x）為偶函數(shù)．
（2）設(shè)x₁＞x₂＞0，則f（x₁）-f（x₂）=

1+4x1

2x1

-

1+4x2

2x2

=

(1+4x1)2x2-(1+4x2)2x1

2x1•2x2

=

(2x2-2x1)+(4x1•2x2-4x2•2x1)

2x1•2x2

=

(2x2-2x1)+2x1•2x2(2x1-2x2)

2x1•2x2

=

(2x2-2x1)(1-2x1+x2)

2x1•2x2

，
由于x₁＞x₂＞0，所以2x2-2x1＜0；1-2x1+x2＜0，
所以f（x₁）-f（x₂）＞0，
所以f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增．

點評：本題考查了函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的判定，根據(jù)定義可以解答題目，屬于基礎(chǔ)題．