Question

已知函數(shù)（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），（為常數(shù)），是實(shí)數(shù)集 上的奇函數(shù)．

   （1）求證：；

   （2）討論關(guān)于的方程：的根的個(gè)數(shù)；

   （3）設(shè)，證明：（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．

 

Answer 1

【答案】

（1）略

（2）①當(dāng)即時(shí),方程無根;

②當(dāng)即時(shí),方程只有一個(gè)根．

③當(dāng)即時(shí),方程有兩個(gè)根．

（3）略

【解析】（1）證:令,

       令時(shí)

時(shí),． ∴

∴ 即．

（2）∵是R上的奇函數(shù) 

∴  ∴

∴  ∴  故．

故討論方程在的根的個(gè)數(shù)．

即在的根的個(gè)數(shù)．

令．

注意,方程根的個(gè)數(shù)即交點(diǎn)個(gè)數(shù)．

對(duì), ,

令, 得，

當(dāng)時(shí),; 當(dāng)時(shí),．

∴，

當(dāng)時(shí),；  

當(dāng)時(shí),， 但此時(shí)

，此時(shí)以軸為漸近線。

①當(dāng)即時(shí),方程無根;

②當(dāng)即時(shí),方程只有一個(gè)根．

③當(dāng)即時(shí),方程有兩個(gè)根．

（3）由（1）知,  

令,

∴,于是,

∴

．