Question

如圖一，△ABC是正三角形，△ABD是等腰直角三角形，AB=BD=2。將△ABD沿邊AB折起， 使得△ABD與△ABC成直二面角,如圖二，在二面角中.

(1)求證：BD⊥AC；

(2)求D、C之間的距離；

(3)求DC與面ABD成的角的正弦值。

 

Answer 1

【答案】

(1)根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理來得到線線垂直的證明。關(guān)鍵的一步是利用面ABD面ABC，得到BD面ABC，加以證明。

(2) 2 (3)

【解析】

試題分析： 解：(1)依題意，面ABD面ABC，AB是交線，

而BDAB，BD面ABC，又AC面ABC，

 BD⊥AC；          4分

(2)由(1)知，BD面ABC，而BC面ABC，

 BD⊥BC；RtDBC中，BC=BA=2，BD=2，

DC===2；       8分

(3)取AB的中點H，連CH、DH和DC，

△ABC是正三角形，

CHAB，又面ABC面ABD，

 CH面ABD，

DH是DC在面ABD內(nèi)的射影，

CDH是DC與面ABD成的角。

而CH=BC=，由(2)DC=2，

sinCDH===即為所求。      12分

考點：空間中點線面的位置關(guān)系

點評：解決該試題的關(guān)鍵是熟練的運(yùn)用判定定理和性質(zhì)定理得到垂直的證明，以及角的求解，屬于基礎(chǔ)題。