Question

在數(shù)列{a_n}，{b_n}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，設(shè)cn=

bn

an

(n∈N*)．
（Ⅰ）數(shù)列{c_n}是否為等比數(shù)列？證明你的結(jié)論；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{lna_n}，{lnb_n}的前n項(xiàng)和分別為S_n，T_n．若a₁=2，

Sn

Tn

=

n

2n+1

，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)|a_n|的公比為q₁，|b_n|的公比為q₂，根據(jù)cn=

bn

an

進(jìn)而可得

cn+1

cn

化簡(jiǎn)得

q2

q1

進(jìn)而可證明|c_n|為等比數(shù)列．
（Ⅱ）根據(jù)數(shù)列{a_n}，{b_n}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，可推斷數(shù)列{lna_n}，{lnb_n}為等差數(shù)列．進(jìn)而可求得S_n和T_n代入

Sn

Tn

=

n

2n+1

，可求得q₁，q₂=16和b₁=8．代入cn=

bn

an

即可得到數(shù)列{c_n}的通項(xiàng)公式，結(jié)果發(fā)現(xiàn)數(shù)列{c_n}是以4為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列，進(jìn)而根據(jù)等比數(shù)列的求和公式可得到答案．

解答：解：（Ⅰ）{c_n}是等比數(shù)列．
證明：設(shè){a_n}的公比為q₁（q₁＞0），{b_n}的公比為q₂（q₂＞0），
則

cn+1

cn

=

bn+1

an+1

•

an

bn

=

bn+1

bn

•

an

an+1

=

q2

q1

≠0，故{c_n}為等比數(shù)列．
（Ⅱ）數(shù)列{lna_n}和{lnb_n}分別是公差為lnq₁和lnq₂的等差數(shù)列．
由條件得

nlna1+ n(n-1) 2 lnq1

nlnb1+ n(n-1) 2 lnq2

=

n

2n+1

，即

2lna1+(n-1)lnq1

2lnb1+(n-1)lnq2

=

n

2n+1

．
故對(duì)n=1，可得

lna1

lnb1

=

1

3

，又a₁=2，可得b₁=8，
于是

2lna1+(n-1)lnq1

2lnb1+(n-1)lnq2

=

n

2n+1

可變?yōu)?br />（2lnq₁-lnq₂）n²+（4lna₁-lnq₁-2lnb₁+lnq₂）n+（2lna₁-lnq₁）=0對(duì)任意的正整數(shù)n恒成立
于是

2lnq1-lnq2=0 4lna1-lnq1-2lnb1+lnq2=0 2lna1-lnq1=0.

將a₁=2代入得q₁=4，q₂=16，b₁=8．
從而有cn=

8•16n-1

2•4n-1

=4n．所以數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和為4+42+…+4n=

4

3

(4n-1)．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查等差數(shù)列，等比數(shù)列，對(duì)數(shù)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力．