Question

15．已知A，B兩個(gè)批發(fā)市場(chǎng)，商品的批發(fā)價(jià)相同，但是某地區(qū)的居民從兩地運(yùn)回商品時(shí)，每單位距離的運(yùn)費(fèi)不同，A地的運(yùn)費(fèi)是B地的兩倍，已知A，B相距100公里，問：A，B兩地批發(fā)市場(chǎng)售貨區(qū)域分界線設(shè)在何處對(duì)居民進(jìn)貨有利？

Answer 1

分析 以A、B所在的直線為x軸，線段AB的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，求出由P地到A、B兩地購物總費(fèi)用，可求P地居民選擇A地或B地購物總費(fèi)用相等時(shí)，點(diǎn)P所在曲線的形狀，進(jìn)而根據(jù)P的位置，即可得出結(jié)論．

解答 解：如圖，以A、B所在的直線為x軸，線段AB的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，
∵|AB|=100，∴A（-50，0），B（50，0）．
設(shè)P（x，y），P到A、B兩地購物的運(yùn)費(fèi)分別是2a、a（元/公里）．
當(dāng)由P地到A、B兩地購物總費(fèi)用相等時(shí)，有：價(jià)格+A地運(yùn)費(fèi)=價(jià)格+B地運(yùn)費(fèi)，
得2a$\sqrt{（x+50）^{2}+{y}^{2}}$=a$\sqrt{（x-50）^{2}+{y}^{2}}$，化簡(jiǎn)整理得
$（x+\frac{250}{3}）^{2}+{y}^{2}$=$\frac{40000}{9}$，
∴（1）當(dāng)P點(diǎn)在圓上時(shí)，居民到A地或B地購物總費(fèi)用相等．
（2）當(dāng)P點(diǎn)在上述圓內(nèi)時(shí)，到A地購物合算．
（3）當(dāng)P點(diǎn)在上述圓外時(shí)，到B地購物合算．

點(diǎn)評(píng) 本題考查軌跡方程，考查學(xué)生利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．