Question

【題目】如圖，四棱錐，平面，且，底面為直角梯形，，，，，，，、分別為、的中點(diǎn)，平面與的交點(diǎn)為.

（1）求的長(zhǎng)度；

（2）求截面的底面所成二面角的大��；

（3）求點(diǎn)到平面的距離.

Answer 1

【答案】（1）1；（2）；（3）

【解析】

（1）取的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié). 則.

再取的中點(diǎn)即為點(diǎn)，由，故.

所以，、、、四點(diǎn)共面，平面與的交點(diǎn)即為的四等分點(diǎn).

因此，.

（2）易證平面底面. 于是，截面與平面所成的二面角即為截面與底面所成的二面角.

因?yàn)?/span>平面，所以，平面.

過(guò)作，垂足為，聯(lián)結(jié).

則由三垂線定理可得.

因此，為截面與平面所成二面角的平面角.

在中，，，.

故.

所以，.

因此，.

（3）因?yàn)?/span>的中點(diǎn)為，且平面與交于點(diǎn)，所以，點(diǎn)到平面的距離是點(diǎn)到平面的距離的3倍.

由（2）知平面. 則平面平面且交線為.

作，垂足為.

則平面，為點(diǎn)到平面的距離.

在中，，.

故.

因此，點(diǎn)到平面的距離為.