Question

【題目】已知函數(shù)，.

（1）若存在極小值，求實數(shù)的取值范圍；

（2）設是的極小值點，且，證明：.

Answer 1

【答案】(1) .(2)見解析.

【解析】

（1）先求得導函數(shù)，根據(jù)定義域為，可構(gòu)造函數(shù)，通過求導及分類討論，即可求得的取值范圍。

（2）由（1）令，通過分離參數(shù)得，同時求對數(shù)，根據(jù)函數(shù)，可得。構(gòu)造函數(shù)及，由導數(shù)即可判斷的單調(diào)情況，進而求得的最小值，結(jié)合即可證明不等式成立。

（1）.

令，

則，

所以在上是增函數(shù).

又因為當時，；

當時，.

所以，當時，，，函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，不存在極值點；

當時，的值域為，

必存在使.

所以當時，，，單調(diào)遞減；

當時，，，單調(diào)遞增；

所以存在極小值點.

綜上可知實數(shù)的取值范圍是.

（2）由（1）知，即.

所以，

.

由，得.

令，顯然在區(qū)間上單調(diào)遞減.

又，所以由，得.

令，

，

當時，，函數(shù)單調(diào)遞增；

當時，，函數(shù)單調(diào)遞減；

所以，當時，函數(shù)取最小值，

所以，即，即，

所以，，

所以，

即.