Question

如圖，直二面角D-AB-E中，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，AE=EB，F為CE上的點(diǎn)，且BF⊥平面ACE.

 

（1）求證AE⊥平面BCE；

（2）求二面角B-AC-E的大��；

（3）求點(diǎn)D到平面ACE的距離.

Answer 1

解法一：(1)∵BF⊥平面ACE,∴BF⊥AE.

∵二面角D-AB-E為直二面角、且CB⊥AB,

∴CB⊥平面ABE.∴CB⊥AE.∴AE⊥平面BCE.

(2)連結(jié)BD交AC于G,連結(jié)FG,

∵正方形ABCD邊長(zhǎng)為2,∴BG⊥AC,BG=.

∵BF⊥平面ACE,由三垂線定理的逆定理得FG⊥AC,

∴∠BGF是二面角B-AC-E的平面角.

由(1)AE⊥平面BCE,∴AE⊥EB.又∵AE=EB,

∴在等腰直角三角形中、BE=.

又∵直角三角形BCE中,EC=∴直角三角形BFG中,sin∠BGF=

∴二面角B-AC-E等于arcsin

(3)過E作EO⊥AB交AB于O,OE=1,

∵二面角D-AB-E為直二面角,

∴EO⊥平面ABCD.

設(shè)D到平面ACE的距離為h,

∵V_D—ACE=V_E—ACD,∴S_△ACE·h=S_△ACD·EO.

∵AE⊥平面BCE,∴AE⊥EC.

∴

∴點(diǎn)D到平面ACE的距離為

解法二：(1)同解法一.

(2)以線段AB的中點(diǎn)為原點(diǎn)O,OE所在直線為x軸,AB所在直線為y軸,過O點(diǎn)平行于AD的直線為z軸、建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz,如圖.

∵AE⊥平面BCE、BE面BCE,∴AE⊥BE.在直角三角形AEB中,AB=2,O為AB的中點(diǎn).

∴OE=1,A(0,-1,0),E(1,0,0),C(0,1,2),=(1,1,0),=(0,2,2).

設(shè)平面AEC的一個(gè)法向量n=(x,y,z),則

令x=1,得n=(1,-1,1)是平面EAC的一個(gè)法向量.

又平面BAC的一個(gè)法向量為m=(1、0、0),

∴cos〈m、n〉=

∴二面角B-AC-E的大小為arccos.

(3)∵AD∥z軸,AD=2,∴=(0,0,2),

∴點(diǎn)D到平面ACE的距離d=||·|cos〈,n〉|=