Question

已知a＞0，b＞0，c＞0且a，b，c不全相等．求證：

bc

a

+

ac

b

+

ab

c

＞a+b+c．

Answer 1

分析：本小題可用分析法、綜合法或作差比較法證明，注意條件a，b，c不全相等的使用．
1、分析法就是證明，使不等式成立的充分條件成立，要證

bc

a

+

ac

b

+

ab

c

＞a+b+c，
只要證

(bc)2+(ac)2+(ab)2

abc

＞a+b+c，只要證（bc）²+（ac）²+（ab）²＞abc（a+b+c），
左邊使用均值不等式，可證出大于右邊．
2、綜合法，不等式左邊變形后直接使用均值不等式．
3、作差比較法，作差--變形--判斷符號．

解答：證明：方法一：（分析法）要證

bc

a

+

ac

b

+

ab

c

＞a+b+c，
只要證

(bc)2+(ac)2+(ab)2

abc

＞a+b+c．
∵a，b，c＞0，
只要證（bc）²+（ac）²+（ab）²＞abc（a+b+c），
由公式知（bc）²+（ac）²≥2abc²，
（ac）²+（ab）²≥2a²bc，（bc）²+（ab）²≥2ab²c．
∵a，b，c不全相等，上面各式中至少有一個等號不成立，三式相加得：
2[（bc）²+（ac）²+（ab）²]＞2abc²+2a²bc+2ab²c，
即（bc）²+（ac）²+（ab）²＞abc（a+b+c）成立．
∴

bc

a

+

ac

b

+

ab

c

＞a+b+c成立．
方法二：（綜合法）∵a＞0，b＞0，c＞0，
∴

bc

a

+

ac

b

≥2

bc a • ac b

=2c，

bc

a

+

ab

c

≥2

bc a • ab c

=2b，

ac

b

+

ab

c

≥2

ac a • ab c

=2a，
又∵a，b，c不全相等，∴上面三式不能全取等號，
三式相加得

bc

a

+

ac

b

+

ab

c

＞a+b+c．
方法三：（作差比較法）

bc

a

+

ac

b

+

ab

c

-a-b-c
=

b2c2+a2c2+a2b2-a2bc-b2ac-c2ab

abc

=

1

2

•

(bc-ac)2+(ab-bc)2+(ac-ab)2

abc

＞0（a，b，c不全相等），
即

bc

a

+

ac

b

+

ab

c

-a-b-c＞0，
∴

bc

a

+

ac

b

+

ab

c

＞a+b+c．

點評：通過用分析法、綜合法或作差比較法證明不等式，體會幾種方法間的區(qū)別與聯(lián)系．