Question

【題目】已知橢圓的離心率是，短軸的一個(gè)端點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為，直線與橢圓交于兩點(diǎn)．

（1）求橢圓的方程；

（2）當(dāng)實(shí)數(shù)變化時(shí)，求的最大值；

（3）求面積的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）有最大值；（3）面積的最大值為.

【解析】試題分析：⑴由橢圓的離心率是，短軸的一個(gè)端點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為，列出方程組，求出及，由此能求出橢圓的方程；

⑵聯(lián)立直線方程和橢圓方程消去，求出的橫坐標(biāo)，代入直線方程求出對(duì)應(yīng)的縱坐標(biāo)，代入兩點(diǎn)間的距離，求出，

⑶求出點(diǎn)到直線的距離，從而求得的面積的表達(dá)式，運(yùn)用不等式計(jì)算求得結(jié)果

解析：（1）由題意得，得，從而，

所以橢圓的方程為；

（2）設(shè)，聯(lián)立消去，整理得，

由題意知，

所以， ，

所以，

所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)， 有最大值；

（3）點(diǎn)到直線的距離為，從而的面積為

，

（當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立．）

所以面積的最大值為．