Question

設函數(shù)f（x）=ax+cosx，x∈[0，π]．
（Ⅰ）討論f（x）的單調性；
（Ⅱ）設f（x）≤1+sinx，求a的取值范圍．

Answer 1

解：（Ⅰ）求導函數(shù)，可得f'（x）=a-sinx，x∈[0，π]，sinx∈[0，1]；
當a≤0時，f'（x）≤0恒成立，f（x）單調遞減；當a≥1 時，f'（x）≥0恒成立，f（x）單調遞增；
當0＜a＜1時，由f'（x）=0得x₁=arcsina，x₂=π-arcsina
當x∈[0，x₁]時，sinx＜a，f'（x）＞0，f（x）單調遞增
當x∈[x₁，x₂]時，sinx＞a，f'（x）＜0，f（x）單調遞減
當x∈[x₂，π]時，sinx＜a，f'（x）＞0，f（x）單調遞增
當x∈[0，arcsina]時，單調遞增，當x∈[arcsina，π]時，單調遞減；
（Ⅱ）由f（x）≤1+sinx得f（π）≤1，aπ-1≤1，∴a≤．
令g（x）=sinx-（0≤x），則g′（x）=cosx-
當x時，g′（x）＞0，當時，g′（x）＜0
∵，∴g（x）≥0，即（0≤x），
當a≤時，有
①當0≤x時，，cosx≤1，所以f（x）≤1+sinx；
②當時，=1+≤1+sinx
綜上，a≤．
分析：（Ⅰ）求導函數(shù)，可得f'（x）=a-sinx，x∈[0．π]，sinx∈[0，1]，對a進行分類討論，即可確定函數(shù)的單調區(qū)間；
（Ⅱ）由f（x）≤1+sinx得f（π）≤1，aπ-1≤1，可得a≤，構造函數(shù)g（x）=sinx-（0≤x），可得g（x）≥0（0≤x），再考慮：①0≤x；②，即可得到結論．
點評：本題考查導數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的單調性，考查函數(shù)的最值，解題的關鍵是正確求導，確定函數(shù)的單調性．