Question

7．下列若干命題中，正確命題的序號是①③④．
①“a=3”是直線ax+2y+2a=0和直線3x+（a-1）y-a+7=0平行的充分不必要條件；
②△ABC中，若acosA=bcosB，則該三角形形狀為等腰三角形；
③兩條異面直線在同一平面內(nèi)的投影可能是兩條互相垂直的直線；
④函數(shù)y=sinxcosx的最小正周期是π

Answer 1

分析 由兩直線平行的條件列式求出a值判斷①；由已知等式化邊為角，判斷出三角形形狀判斷②；由投影概念結(jié)合異面直線所成的角判斷③；利用倍角公式化積后求出周期判斷④．

解答 解：對于①，由$\left\{\begin{array}{l}{a（a-1）-6=0}\\{a（7-a）-6a≠0}\end{array}\right.$，解得a=-2或a=3，∴“a=3”是直線ax+2y+2a=0和直線3x+（a-1）y-a+7=0平行的充分不必要條件，故①正確；
對于②，△ABC中，若acosA=bcosB，由正弦定理$\frac{a}{sinA}=\frac{sinB}$化簡已知的等式得：sinAcosA=sinBcosB，
∴$\frac{1}{2}$sin2A=$\frac{1}{2}$sin2B，則sin2A=sin2B，又A和B都為三角形的內(nèi)角，則2A=2B或2A+2B=π，即A=B或A+B=$\frac{π}{2}$，則△ABC為等腰或直角三角形，故②錯誤；
對于③，兩條異面直線在同一平面內(nèi)的投影可能是兩條互相垂直的直線，③正確，如正四面體P-ABC中，PA與BC是異面直線，它們在底面ABC上的投影是兩條互相垂直的直線；
對于④，函數(shù)y=sinxcosx=$\frac{1}{2}sin2x$，最小正周期是π，故④正確．
∴正確命題的序號是①③④．
故答案為：①③④．

點評 本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，考查了兩直線平行的條件，訓(xùn)練了三角形形狀的判斷，考查空間想象能力，是基礎(chǔ)題．