Question

(12分)已知如圖(1)，梯形中，，，，、分別是、上的動點(diǎn)，且，設(shè)（）。沿將梯形翻折，使平面平面，如圖（2）。

（Ⅰ）求證：平面平面；

（Ⅱ）若以、、、為頂點(diǎn)的三棱錐的體積記為，求的最大值；

（Ⅲ）當(dāng)取得最大值時(shí)，求二面角的正弦值．

Answer 1

解析：（Ⅰ）∵平面平面，，∴平面，

∴

∵，

∴平面。

又平面，

∴平面平面．  ……………………………………………………4分

（Ⅱ）∵平面，

∴………………………………………6

即時(shí)，有最大值．  ………………………………………………8分

（Ⅲ）(方法一)如圖，以E為原點(diǎn)，、、為軸建立空間直角坐標(biāo)系，

 則，，，，

∴，，

設(shè)平面的法向量為，

則 ∴

設(shè)，則，，∴………………………………10分

平面的一個(gè)法向量為，

∴，……………………………11分

設(shè)二面角為，∴

∴二面角的正弦值為…………………………………………12分

(方法二)作于，作于，連

由三垂線定理知，

∴是二面角的平面角的補(bǔ)角．…………………………………9分

由∽，知，而，，，

∴

又，∴    

在中，。

∴二面角的正弦值為…………………………………12分