Question

已知橢圓：的左、右焦點分別為、，橢圓上的點滿足，且△的面積為．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）設橢圓的左、右頂點分別為、，過點的動直線與橢圓相交于、兩點，直線與直線的交點為，證明：點總在直線上.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）橢圓的方程為；（Ⅱ）詳見解析.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）由焦點坐標知：.又橢圓上的點滿足，由可求得，再由勾股定理可求得，從而求得.再由求得，從而得橢圓的方程.（Ⅱ）首先考慮與軸垂直的情況，此時可求出直線與直線的交點為，的方程是：，代入驗證知點在直線上.當直線不與軸垂直時，設直線的方程為，點、，，則，，要證明共線，只需證明，即證明.

若，顯然成立；若， 即證明

而，這顯然用韋達定理.

試題解析：（Ⅰ）由題意知：， 1分

橢圓上的點滿足，且，

．

，．

2分

又 3分

橢圓的方程為． 4分

（Ⅱ）由題意知、，

（1）當直線與軸垂直時，、，則的方程是：，

的方程是：，直線與直線的交點為，

∴點在直線上. 6分

（2）當直線不與軸垂直時，設直線的方程為，、，

由得

∴， 7分

，，共線，∴ 8分

又，，需證明共線，

需證明，只需證明

若，顯然成立，若， 即證明

∵

成立， 11分

∴共線，即點總在直線上. 12分

考點：1、橢圓的標準方程；2、直線與圓錐曲線.