Question

【題目】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，是橢圓上一動(dòng)點(diǎn)（與左、右頂點(diǎn)不重合）已知的內(nèi)切圓半徑的最大值為，橢圓的離心率為.

（1）求橢圓C的方程；

（2）過(guò)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，過(guò)作軸的垂線交橢圓與另一點(diǎn)（不與重合）.設(shè)的外心為，求證為定值.

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析

【解析】

（1）當(dāng)面積最大時(shí)，最大，即點(diǎn)位于橢圓短軸頂點(diǎn)時(shí)，即可得到的值，再利用離心率求得，即可得答案；

（2）由題意知，直線的斜率存在，且不為0，設(shè)直線為，代入橢圓方程得.設(shè)，利用弦長(zhǎng)公式求得，利用的垂直平分線方程求得的坐標(biāo)，兩個(gè)都用表示，代入中，即可得答案.

（1）由題意知：，∴，∴.

設(shè)的內(nèi)切圓半徑為，

則，

故當(dāng)面積最大時(shí)，最大，即點(diǎn)位于橢圓短軸頂點(diǎn)時(shí)，

所以，把代入，解得：，

所以橢圓方程為.

（2）由題意知，直線的斜率存在，且不為0，設(shè)直線為，

代入橢圓方程得.

設(shè)，則，

所以的中點(diǎn)坐標(biāo)為，

所以.

因?yàn)?/span>是的外心，所以是線段的垂直平分線與線段的垂直平分線的交點(diǎn)，的垂直平分線方程為，

令，得，即，所以

所以，所以為定值，定值為4.