Question

3．如圖已知四邊形AOCB中，|$\overrightarrow{OA}$|=5，$\overrightarrow{OC}$=（5，0），點B位于第一象限，若△BOC為正三角形．
（1）若cos∠AOB=$\frac{3}{5}$，求A點坐標；
（2）記向量$\overrightarrow{OA}$與$\overrightarrow{BC}$的夾角為θ，求cos2θ的值．

Answer 1

分析 （1）設∠AOB=α，cosα=$\frac{3}{5}$，sinα=$\frac{4}{5}$．可得：x_A=$5cos（α+\frac{π}{3}）$，y_A=$5sin（α+\frac{π}{3}）$．
（2）B$（\frac{5}{2}，\frac{5\sqrt{3}}{2}）$，計算$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{BC}$.$|\overrightarrow{OA}|$，$|\overrightarrow{BC}|$．可得cosθ=$\frac{\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{OA}||\overrightarrow{BC}|}$．

解答 解：（1）設∠AOB=α，cosα=$\frac{3}{5}$，sinα=$\frac{4}{5}$．
x_A=$5cos（α+\frac{π}{3}）$=$5（\frac{3}{5}×\frac{1}{2}-\frac{4}{5}×\frac{\sqrt{3}}{2}）$=$\frac{3-4\sqrt{3}}{2}$．
y_A=$5sin（α+\frac{π}{3}）$=5$（\frac{4}{5}×\frac{1}{2}+\frac{3}{5}×\frac{\sqrt{3}}{2}）$=$\frac{4+3\sqrt{3}}{2}$．
∴A$（\frac{3-4\sqrt{3}}{2}，\frac{4+3\sqrt{3}}{2}）$．
（2）B$（\frac{5}{2}，\frac{5\sqrt{3}}{2}）$，
$\overrightarrow{BC}$=$（\frac{5}{2}，-\frac{5\sqrt{3}}{2}）$．
$\overrightarrow{OA}$=$（\frac{3-4\sqrt{3}}{2}，\frac{4+3\sqrt{3}}{2}）$．
∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{BC}$=$\frac{15-20\sqrt{3}}{4}$-$\frac{20\sqrt{3}+45}{4}$=$-\frac{15+20\sqrt{3}}{2}$．
$|\overrightarrow{OA}|$=5，$|\overrightarrow{BC}|$=5．
∴cosθ=$\frac{\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{OA}||\overrightarrow{BC}|}$=$-\frac{3+4\sqrt{3}}{10}$．
∴cos2θ=2cos²θ-1=$\frac{7+24\sqrt{3}}{50}$．

點評 本題考查了向量的坐標運算、數量積運算性質、向量夾角公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．