Question

14．某高中學(xué)校在2015年的一次體能測試中，規(guī)定所有男生必須依次參加50米跑、立定跳遠(yuǎn)和一分鐘引體向上三項(xiàng)測試，只有三項(xiàng)測試全部達(dá)標(biāo)才算合格，已知男生甲的50米跑和立定跳遠(yuǎn)的測試與男生乙的50米跑測試已達(dá)標(biāo)，男生甲需要參加一分鐘引體向上測試，男生乙還需要參加立定跳遠(yuǎn)和一分鐘引體向上兩項(xiàng)測試，若甲參加一分鐘引體向上測試達(dá)標(biāo)的概率為p，乙參加立定跳遠(yuǎn)和一分鐘引體向上測試達(dá)標(biāo)的概率均為$\frac{1}{2}$，甲、乙每一項(xiàng)測試是否達(dá)標(biāo)互不影響，已知甲和乙同時(shí)合格的概率為$\frac{1}{6}$．
（1）求p的值，并計(jì)算甲和乙恰有一人合格的概率；
（2）在三項(xiàng)測試項(xiàng)目中，設(shè)甲達(dá)標(biāo)的測試項(xiàng)目數(shù)為x，乙達(dá)標(biāo)的測試項(xiàng)目的項(xiàng)數(shù)為y，記ξ=x+y，求隨機(jī)變量ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （1）由題意，甲和乙同時(shí)合格的概率為：$p×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=\frac{1}{6}$，由此能求出p，記事件A為：“甲測試合格”，事件B為：“乙測試合格”，事件C為：“甲和乙恰好有一個(gè)人測試合格”．由P（C）=P（A）P（$\overline{B}$）+P（$\overline{A}$）P（B），能求出甲和乙恰有一人合格的概率．
（2）由題意知隨機(jī)變量ξ的可能取值為3，4，5，6，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出隨機(jī)變量ξ的分布列和E（ξ）．

解答 解：（1）由題意，甲和乙同時(shí)合格的概率為：$p×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=\frac{1}{6}$，
解得p=$\frac{2}{3}$，
記事件A為：“甲測試合格”，事件B為：“乙測試合格”，事件C為：“甲和乙恰好有一個(gè)人測試合格”．
∴P（C）=P（A）P（$\overline{B}$）+P（$\overline{A}$）P（B）
=$\frac{2}{3}$（${C}_{2}^{1}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}+\frac{1}{2}×\frac{1}{2}$）+$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}$
=$\frac{7}{12}$，
∴甲和乙恰有一人合格的概率為$\frac{7}{12}$．
（2）由題意知隨機(jī)變量ξ的可能取值為3，4，5，6，
P（ξ=3）=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}$=$\frac{1}{12}$，
P（ξ=4）=$\frac{2}{3}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}+\frac{1}{3}{C}_{2}^{1}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}$=$\frac{1}{3}$，
P（ξ=5）=$\frac{2}{3}{C}_{2}^{1}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}+\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=\frac{5}{12}$，
P（ξ=6）=$\frac{2}{3}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=\frac{1}{6}$，
隨機(jī)變量ξ的分布列為：

ξ	3	4	5	6
P	$\frac{1}{12}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{5}{12}$	$\frac{1}{6}$

E（ξ）=$3×\frac{1}{12}+4×\frac{1}{3}+5×\frac{5}{12}+6×\frac{1}{6}$=$\frac{14}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意相互獨(dú)立事件概率乘法公式的合理運(yùn)用．